垫排球的数学期望

今年开春,池塘边的柳树染上一种怪病,叶片枯黄,树皮剥落,眼下十几棵竟都死绝了。从此熟悉的小路上再看不到柳絮飘拂,我少有地惶恐起来。害怕春天不再是春天,秋天不再是秋天,夏天不再炎热,冬天不再寒冷。所有的东西还来不及凭吊就已灰飞烟灭。

一时想起很多过去的事儿。记得我曾经挺喜欢玩排球,但是已拿不准到底是为了准备中考体育才喜欢排球的,还是真的喜欢。如同我已拿不准是不是为了语文考试才喜欢上看书的。反正现在我只喜欢玩电脑,一点都不喜欢看书。

说起中考体育,排球这东西可是最靠运气的。据我观察,大多数人稍加练习很快都能达到满分水平,可在考场能不能拿到满分,完全得看老天爷的脸色。不管你垫到第几个,突然间妖风一起,这次机会就算告吹。真有不少人上阵连遇三股妖风,别的科目测都没测,直接办了缓考。

诸君,要知道任何时间、任何地点都有可能刮起妖风,所以啊,不管您练习得多么刻苦,单次垫球成绩也依然是一到十之间的均匀分布。这样单次垫球的数学期望不难计算,为

有趣的是,中考排球总共有三次垫球机会,取最好的一次作为最终的成绩。那么,三次机会较一次机会将如何改变总体的数学期望呢?

设三次垫球的成绩分别为$X_{1}$、$X_{2}$、$X_{3}$,随机变量$X_{i}$取1到10之间的整数,且均匀分布。

最终成绩$M$,为,取值也是1到10之间的整数。$M$取某一整数$k$的概率为

此概率不便直接计算,故转而计算$M$的累积分布函数

由于$X_{1}$、$X_{2}$、$X_{3}$三个随机变量相互独立,故

,所以

可见,三次机会使得排球成绩的数学期望从5.5上升到7.975。

写于 2017年6月4日